После окончания средней школы в 1972 году поступил в Ленинградское высшее военное инженерное строительное Краснознаменное училище им. генерала армии А. Н. Комаровского. После окончания училища с 1978 года по 1991 год служил в рядах Советской Армии.
 

С 1978 г. по 1984 г. воинскую службу проходил в Московском военном округе в должностях производителя работ, начальника строительного участка УНР. Затем в Дальневосточном военном округе в Курильском районе Сахалинской области. Здесь А. Г. Верховский начал службу с должности начальника строительного участка и закончил в должности заместителя начальника отдела УНР. В марте 1989 года был переведен на службу в Ленинград на должность начальника производственного отдела. По окончании службы в 1991 г. вышел в запас в звании подполковника.
 

В 1991 году вернулся в Сахалинскую область и создал ООО «Гидрострой», впоследствии преобразованное в ЗАО «Гидрострой», в котором  по май 2009 года работал генеральным директором. С  мая по декабрь 2009 года являлся  президентом  ЗАО "Гидрострой".
 

Трижды (в 1997, 2001, 2005 г.г.) избирался депутатом представительного органа местного самоуправления Курильского района Сахалинской области.
 

В декабре 2009 года А. В. Верховский избран членом Совета Федерации Федерального Собрания РФ от Сахалинской областной Думы. В ноябре 2010 года своим постановлением Совет Федерации подтвердил его полномочия в качестве сенатора от Сахалинской областной Думы.
 

Имеет правительственную награду - в 1998 году Указом Президента РФ награжден медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.
 

 В 2003  А.Г. Верховский стал лауреатом Международной премии всехвального апостола Андрея Первозванного «За Веру и Верность» за «самоотверженный труд по возрождению экономики Курильских островов и сохранение целостности Российского государства». В 2007 году награжден Премией правительства РФ в области науки и техники.
 

Член Всероссийской политической партии "Единая Россия".